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克萊因瓶是個啥?為什麼說三維空間裡無法造出真正的克萊因瓶?
2021/11/19
2021/11/19

一個完全封閉的瓶子是有內外之分的,按常理來講,如果一個物體要從封閉的瓶子內部出來(或從外面進去),都必須要穿過瓶子的表面才可以。

然而在1882年的時候,數學家菲立克斯·克萊因(Felix Christian Klein)卻提出了一種奇特瓶子——克萊因瓶(Klein Bottle),簡單來講,這種瓶子沒有內外之分,它可以允許物體不需要穿過瓶子的表面就能夠直接從瓶子的內部出來(或從外面進去)。

克萊因瓶是個啥?

想象一下,現在有一張紙條,紙條上還有一個二維生物,對于這個二維生物來講,這張紙條是有正反兩面的,如果紙條是平的,那麼這個二維生物想要從紙條的正面來到反面(或從反面來到正面),就必須要繞過紙條的邊緣,或者直接穿過紙條才可以。

如上圖所示,假如我們將紙條卷起來,接著將紙條的一端扭轉180度,然後將紙條的兩端粘在一起,這樣就形成了一個沒有正反面之分的二維環狀結構,也就是說,在這個環狀結構中,二維生物不需要繞過紙條的邊緣,也不需要穿過紙條,就可以到達該結構表面上的任意一點(如下圖所示)。

這種具有單側曲面的二維環狀結構由數學家奧古斯特·莫比烏斯(August Ferdinand Mobius)于1858年提出,所以人們將其稱為莫比烏斯帶(Mobius Band)。順便講一下,由于莫比烏斯帶只有一個面,因此人們常將動力機械中的皮帶做成這種形狀,這樣就可以皮帶就不會只是磨損一面了。

很明顯,莫比烏斯帶是有邊緣的,現在想象一下,假如我們取兩個莫比烏斯帶,然後再使用雙面帶將它們的邊緣完全連接起來,會發生什麼?

假如我們真的能夠這樣做,那麼我們就可以得到一個封閉的結構(如上圖所示)而由于莫比烏斯帶是沒有正反面之分的,因此我們得到的這個封閉結構也就沒有內外之分,這就意味著,一個物體可以在無需穿過這個結構表面的情況下,直接從其內部出來(或從外面進去),就像下圖這樣。

是的,這種封閉結構就是一個克萊因瓶,它其實就是莫比烏斯帶在更高維度的拓展,那麼這是否就意味著我們能夠造出克萊因瓶呢?答案是否定的,因為在我們所在的三維空間裡,根本就無法造出一個真正的克萊因瓶。

為什麼說三維空間裡無法造出真正的克萊因瓶?

在克萊因瓶這個概念提出之後,很多人都對這種不分內外的瓶子產生了濃厚的興趣,人們根據其原理,還造出了像模像樣的「仿克萊因瓶」,例如下圖這種瓶子。

可以看到,這種「仿克萊因瓶」,雖然看上去似乎可以在無需穿過瓶子表面的情況下從其內部出來(或從外面進去),但實際上,它們瓶頸與瓶身卻是相交的,也就是說,這種瓶子其實是「自己穿過了自己的表面」,而真正的克萊因瓶卻不是這樣子的。

實際上,這其實就是維度的限制,我們再來想象一下,在一個二維的平面中,假設有一條直線將這個平面分為了兩個區域,然後這兩個區域中各自都有一個點(A和B)。

如上圖所示,如果我們想在這個二維的平面中將A點和B點連接起來,就必然會穿過中間的那一條直線,那有沒有辦法不穿過那條直線而將A點和B點連接起來呢?當然有辦法,我們只需要將這個二維平面卷起來就可以「跳」過那條直線。

同樣的道理,想要在三維空間中將兩個莫比烏斯帶的邊緣完全連接起來,就必然會穿過莫比烏斯帶的表面,正是因為如此,三維空間裡才無法造出真正的克萊因瓶,只有在更高維度的空間中,我們才可以「跳」過莫比烏斯帶的表面,直接兩個莫比烏斯帶連接起來,進而造出真正的克萊因瓶。

結語

人類之所以能夠建立輝煌的文明,有一個重要的原因就是人類的想象力,這種獨特的能力可以讓人類根據已知的現象,想象出現實世界裡不存在的事物,從而使人類具備了強大的創造力。克萊因瓶其實就是人類思考高維空間時想象出來的事物,它是否能夠造出並不是很重要,重要的是人類能夠想到,或許在不遠的未來,人類真的能夠揭開高維空間的奧秘。

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